法线方程公式是什么(曲面及曲面的切平面与法线方程)

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高中介绍了直线的几种形式。

点斜式：已知直线经过的一点及直线斜率

斜截式：已知直线在y轴的斜率及直线的斜率

两点式：已知直线经过的两个定点

截距式：已知直线在x,y上的截距

一般式：所有直线都可以写成Ax+By+C=0

我们发现。前四种直线形式都依赖于直线的某种几何性质。而一般式提供了大家都能接受的形式。

其他形式既很容易转换成一般式。一般式也很容易转换成其他形式。

当然。我们知道。直线的几何性质远不止上面提到的四个。于是给出一个几何性质。我们就可以推导出一种新的直线性质。

比如。过原点作直线l的垂线。垂足为D。如果|OD|=p。垂线OD的倾斜角为α。我们也可以确定一条直线。

咱们试试求出直线的方程。

OK。我们可以写结论了。

过原点作直线l的垂线。垂足为D。如果|OD|=p。垂线OD的倾斜角为α。则直线l的方程为xcosα+ysinα−p=0

这个直线方程我们就称之为法线式。

因为OD垂直于直线l。其实就是法线。

在法线式中。常数项−p是有几何含义的。它表示原点到直线的距离的相反数。因此p≥0

于是我们就可以得到一般式转化成法线式的方法。

注意。法线式要求常数项为负或者零。所以如果C>0。需要两边先同时乘以−1

我们发现。法线式与计算点到直线的距离有着显然的联系。

显然。这个距离公式要漂亮一点。（瘦身了嘛……）

拿几个平常做的题来玩玩。

(当然不用法线式一点问题都没有)

例、三角形的三个顶点为A(1,2),B(8,−5),C(3,5)。求∠BAC的内角平分线与外角平分线的方程。

注意。这两个个方程一个是内角平分线。一个是外角平分线。亲爱的。你能想到办法来判别哪条是内角平分线。哪条是外角平分线吗？

很容易的。我这里不想写了。请你试一试。

答案：前者是外角平分线。后者是内角平分线

之所以说这些题只是玩玩。因为即使没有法线式。我的朋友们也很容易做出来的。而且我也不希望你在高考试卷上用法线式。万一阅卷的考官看不懂怎么办？咱得防着对手太渣啊。

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