有理数域加减乘除都是封闭的,那为什么部分无理数可以表示为有理数加减后的无穷级数呢？

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说有理数域对加减乘除都封闭。这句话是没有问题的。但是有一些细节需要澄清。

1.什么叫集合对某种运算封闭？

数与数之间是可以做运算(operation)的。比如加减乘除都是运算。

由一些数组成的集合。如果从集合里面任意拿两个数做某种运算。得到的结果仍属于这个集合。就称这个集合对于该运算是封闭的(closed)。

比如自然数集对加法就是封闭的。而自然数集的减法就不是封闭的。

2.为什么说有理数集对加减乘除4种运算都是封闭的？

这个证明比较简单。我们知道有理数就是可以写成两个整数之比的数。那我们可以进行如下运算

上面这4个式子就表明了。任意两个有理数做加减乘除运算得到的结果仍然还是有理数。因此说有理数集对加减乘除4种运算封闭。而对于这4个运算封闭的集合。我们称之为域(field)。所以有理数集也称为有理数域。

3.是否有一些无理数可以表示成无限多个有理数相加的无穷级数？

这种情况是存在的。而且例子非常多。比如下面两个非常著名的式子都与欧拉(Euler)有关：

事实上。任意一个无理数都可以。表示成无限多个有理数相加。比如圆周率π：

那么问题出在哪儿了呢？我们需要搞清一个问题。求和跟求和也是不一样的。

这样情况下。我们研究两种和。一个是有限和(finite sum)。另外一种是无限和(infinite sum)。

有限和顾名思义就是有限多个数相加。如果是n个数相加。我们一般用如下的符号表示：

比如等差数列中大名鼎鼎的首项加尾项乘以项数除以2。其实就是有限和。

而无限和自然就是无限多个数相加。它的符号也可以如下表示：

这就是我们在高等数学里面学过的无穷级数(infinite series)。

无限和一般是没法直接计算的。我们需要把它转化一下。先求出有限和。也叫部分和(partial sum)。然后再让部分和取一个极限：

而这个和存在不存在。那就由Sn的敛散性决定了。

有限和与无限和是两个截然不同的概念。使用时要千万小心注意区分。

4.答案

那么题主所问的问题。答案也就非常清楚了。有理数域对加减乘除封闭指的是有限次运算封闭。而不是无限次运算。因此你把无限多个有理数加在一起。它就不一定满足了。结果就不一定是有理数。有可能就是无理数。

其实关于求和还有第三个层次叫做任意和(arbitrary sum)。它比上面说的无限和还要过分。甚至都无法用正常的连加符号来表示。比如我想把闭区间[0,1]上所有的实数加在一起。该如何表示呢？我们只能借助如下类似于指标的方法来表示：

这种求和就非常复杂了。它的计算方法是。求出在这个区间内所有有限个数的和的上确界。这需要非常高超的运算技巧和严格的数学定义。

6.题外话

我们上面一共讨论了三种类型的运算。有限个无限个。和任意个。这三个东西是完全不同的性质也不是通用的。你不能说某个性质对有限运算成立。则它对无限运算也成立。

举个简单的例子。集合之间有交集。并集运算。如果两个集合都是有界的。那它们的并集也是有界的。只需要取那两个界中最大的那个就可以了。但是无限多个有界数集的并集可不一定是有界的了。比如我把[1,2]。[2,3]。[3,4]。...。这无限多个小区间并起来就是整个非负半轴。它显然是无界的。

甚至于。对两个数进行运算所满足的性质。不一定对三个。或者n个就满足。你不能有某个性质对两个数的运算满足。就天然地认为它对n个数也满足。通常情况下。我们需要使用数学归纳法来利用两个推到n个。

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